Родился 22 сентября 1957 г. в Херсоне. В 1980 году с отличием и золотой медалью окончил Военно-медицинскую академию имени С.М. Кирова. Служил на надводных кораблях Военно-Морского флота в должности врача-хирурга. В 1983-1985 гг. обучался в клинической ординатуре на кафедре военно-морской и госпитальной хирургии Военно-медицинской академии имени С.М. Кирова, после окончания которой в течение двух лет проходил службу в составе ограниченного контингента советских войск в Республике Афганистан. За проявленные в этот период высокие моральные и профессиональные качества награжден орденом «За службу Родине в Вооруженных силах» III степени.
В 1987 г. поступил в адъюнктуру при кафедре военно-морской и госпитальной хирургии Военно-медицинской академии имени С.М. Кирова, после ее окончания назначен на должность преподавателя. В 1990 г. защитил кандидатскую, а в 1998 г. - докторскую диссертацию на тему «Диагностика и хирургическое лечение хронического билиарного панкреатита».
В 1998 году после увольнения из Вооруженных Сил Российской Федерации С.Ф. Багненко был назначен на должность директора Санкт-Петербургского научно-исследовательского института скорой помощи им. И.И. Джанелидзе. В 1999 году присвоено ученое звание профессора. С 2012 года по настоящее время является ректором Первого Санкт-Петербургского государственного медицинского университета имени академика И.П. Павлова.
Результаты научной деятельности и лечебной работы С.Ф. Багненко опубликованы более чем в 700 научных работах, среди которых 14 монографий, руководств и учебников. Он является соавтором 21 патента на изобретения и 1 научного открытия. Под его руководством выполнено 8 докторских и 12 кандидатских диссертаций. Профессором С.Ф. Багненко успешно формируется научная школа специалистов по хирургии повреждений и заболеваний поджелудочной железы.
В 2005 году профессор С.Ф. Багненко был избран членом-корреспондентом РАМН, в 2011 году – академиком РАМН (по специальности «Хирургия»), в 2013 году утвержден академиком РАН (отделение медицинских наук). С 2006 по 2012 год являлся членом экспертного совета ВАК по хирургическим специальностям. Занимает должность главного внештатного специалиста по скорой медицинской помощи Минздрава России, а также должность главного внештатного специалиста-хирурга Минздрава России в Северо-Западном федеральном округе.
С.Ф. Багненко - президент журнала «Скорая медицинская помощь», главный редактор журнала «Вестник хирургии им. И.И. Грекова», главный редактор журнала «Ученые записки Санкт-Петербургского государственного медицинского университета имени академика И. П. Павлова», заместитель главного редактора Журнала им. Н.В. Склифосовского «Неотложная медицинская помощь», член редакционного совета журнала «Анналы хирургической гепатологии», член редакционного совета журнала «Трансплантология».
С.Ф. Багненко активно занимается общественной работой, неоднократно избирался членом правления хирургического общества Пирогова, а в 2005-2007 гг. был его председателем. В 2003-2004 гг. руководил Ассоциацией медицинских организаций Санкт-Петербурга. В настоящее время является членом Президиума Общества врачей России и председателем Российского общества скорой медицинской помощи.
Во время выборной компании Президента Российской Федерации 2012 года являлся руководителем предвыборного штаба В.В. Путина по Санкт-Петербургу от Общероссийского Народного Фронта. Входил в состав центрального штаба Общероссийского Народного Фронта.
Награжден «Медалью ордена за Заслуги перед Отечеством» II степени, Орденом Пирогова, медалью «В память 300-летия Санкт-Петербурга», знаком «Отличник здравоохранения» и «Милосердие», медалью «За заслуги перед отечественным здравоохранением», медалью «За содружество во имя спасения».
Лауреат премии Правительства Российской Федерации в области образования (2013 г.) и двух премий Правительства Российской Федерации в области науки и техники (2010, 2015 гг.).